2.2 均匀化方法的数学模型

 　   均匀化方法的基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构－单胞（图1），优化过程中以微结构的单胞尺寸为拓扑设计变量，建立材料密度与材料特性之间的关系，以单胞尺寸的消长实现微结构的增删，并产生由中间尺寸单胞构成的复合材料，以拓展设计空间，从而实现了结构拓扑优化模型与尺寸优化模型，具有严格的数学基础，是一种很好的方法。［4］

图1.微结构的单胞(单位细胞)

    微结构单胞的密度为  　　　 　　　　（1）

    均匀化方法的数学模型为：

    　　（2）

    约束条件为：

    　　　 （3）

     　　　　　　　　　　     　　　　 （4）

    　　　　　　　　    　　　     （5）

    　　　　　　　　　　　       　　　  （6）

    　　　　　　　　　　　　        　　　　  （7）

    gs8　　　　　　　     　　　　　　  （8）

    式中：
    η--微结构单胞的密度
    l(u)--结构柔顺度
    l(v)--结构所受到的等效体积力和边界载荷在虚位移v上所作的虚功
    p、t--结构所受到的等效体积力和边界载荷
    u--节点位移
    v--节点的虚位移
    εij(u)--由于节点位移u引起的应变
    εkl(v)--由于节点虚位移v引起的虚应变
    Eijkl(a)--假设的材料特性，与密度η及实际使用材料的材料特性E0有关
    E0--实际使用材料的材料特性
    α--待定系数
    V--结构初始体积
    Ω--表示在有体积力作用的体积域上积分
    Г--表示在有面积力作用的边界域上进行积分

    在上述模型中，式（2）以结构的总柔顺性最小作为优化目标，以微结构的单胞尺寸a为优化设计变量；约束条件（3）根据虚功原理，以结构的静力平衡作为约束条件；约束条件（4）考虑到优化后的体积一定不大于初始体积，约束条件(5)假设了材料特性与密度 的关系。

    三、客车车身有限元分析

    车身骨架作为客车的关键总成，其结构必须有足够的强度和静刚度以保证其疲劳寿命、装配和使用的要求，同时还应有合理的动态特性以达到控制振动与噪声的目的。应用实践证明[5]，用有限元法对车身结构进行分析，可在设计图纸变成产品前就对其刚度、强度、固有频率及振型等有充分认识，以了解车身的应力和变形情况，对不足之处及时改进，使产品在设计阶段就可保证满足使用要求，从而缩短设计试验周期，节省大量的试验和生产费用，它是提高产品可靠性既经济又适用的方法之一。